SAT Math : COMPLEX NUMBER

วันนี้เราจะมาดูเนื้อหาการเรียน SAT Math เรื่อง complex number หลายคนเคยสงสัยว่า จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเอาตัวเลขติดลบมาถอด square root ของตัวเลขติดลบ เช่น  คำตอบ ก็คือ เป็นไปไม่ได้ เพราะตัวเลขเหมือนกัน 2 ตัว คูณกันแล้วไม่มีทางที่จะได้จำนวนลบเลย เช่น 1 x 1 = 1 หรือ -1 x -1 = 1 อย่างไรก็ดี ข้อจำกัดทางคณิตศาสตร์ถูกกำจัดทิ้งไปด้วยการสร้างทฤษฎีใหม่ขึ้นมาด้วยการคิดสัญลักษณ์ค่าหนึ่งออกมาเพื่อให้สามารถตอบข้อสงสัยดังกล่าวได้ ด้วยการกำหนดว่า  =   โดย  เป็นสัญลักษณ์สำคัญที่เป็นองค์ประกอบในจำนวนเชิงซ้อน (complex number) ซึ่งเป็นตัวเลขที่เขียนในรูป a + b โดย a และ b คือจำนวนจริง ติว SAT Math ก่อนสอบน้องๆอย่าลืมติวกันเรื่องนี้ด้วยนะครับ

จำนวนเชิงซ้อนแบ่งได้เป็น 2 ส่วน ได้แก่ ส่วนจริง (Real part) ซึ่งหมายถึง พจน์ a ในพหุนาม a + b กับ ส่วนจินตภาพ (Imaginary part) ซึ่งหมายถึงพจน์ b ในพหุนาม a + b  ถ้า a = 0 หมายความว่าคำตอบมีแต่ส่วนจินตภาพ ก็จะเรียกว่า จำนวนจินตภาพ (Imaginary number) ในขณะเดียวกัน ถ้า b = 0 หมายความว่าคำตอบมีแต่ส่วนจริง ก็จะเรียกว่า จำนวนจริง (Real number)

ในการเรียน SAT Math ส่วนที่ยากที่สุดของการทำโจทย์เรื่องจำนวนเชิงซ้อน คือ การหาที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน เพราะคำตอบของ  เปลี่ยนไปตามเลขชี้กำลัง ตามตารางด้านล่าง เพราะตารางด้านล่างมีความสำคัญในการทำโจทย์ประยุกต์ได้

เงื่อนไข	n (เลขชี้กำลังของ i)	คำตอบ
1	จำนวนเต็มที่หารด้วย 4 แล้วเหลือ เศษ 1 เช่น 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29
2	จำนวนเต็มที่หารด้วย 4 แล้วเหลือ เศษ 2 เช่น 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30	–1
3	จำนวนเต็มที่หารด้วย 4 แล้วเหลือ เศษ 3 เช่น 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31	–
4	จำนวนเต็มที่หารด้วย 4 ลงตัว เช่น 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32	1

 

ตัวอย่างโจทย์ประยุกต์ ถ้า ( 2³² +  ⁵ ) ( 3⁷ – 4 ²⁶ ) จัดในรูป a + b  จงหาค่าของ a + 3b

³² = 1 เพราะเลขชี้กำลัง คือ 32 ซึ่งหารด้วย 4 แล้วลงตัว

 ⁵ =  เพราะเลขชี้กำลัง คือ 5 ซึ่งหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 1

⁷ = –  เพราะเลขชี้กำลัง คือ 7 ซึ่งหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3

 ²⁶ = –1 เพราะเลขชี้กำลัง คือ 26 ซึ่งหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 2

(2³² +  ⁵) (3⁷ – 4 ²⁶) = (2(1) + )(3(– ) – 4(–1)) = (2+)(–3 + 4)

เมื่อทำการกระจายพจน์ในวงเล็บ ได้เป็น (2)(–3) + (2)(4) + ()(–3) + ()(4)

= –6 + 8 – 3² + 4

= –6 + 8 – 3(–1) + 4 เพราะ ² มีค่าเท่ากับ –1

= –6 + 8 + 3 + 4 = 11 – 2

ถ้า 11 – 2 = a + b  แสดงว่า a = 11 และ b = –2

โจทย์ถามหาค่าของ a + 3b ดังนั้นแทน a = 11 และ b = –2 ได้คำตอบเท่ากับ 11 + 3(–2) = 5

คำตอบ a + 3b = 5

จำนวนเชิงซ้อนเป็นบทหนึ่งที่ออกในข้อสอบ SAT Mathematics ประมาณ 1-2 ข้อ เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนเป็นบทที่อาศัยความรู้แค่เรื่องยกกำลังและพหุนาม ดังนั้นจึงยังคงแนะนำให้ผู้เข้าสอบเก็บเนื้อหาบทนี้ เพราะจำนวนเชิงซ้อนเป็นบทที่ออกข้อสอบค่อนข้างง่ายและไม่ซับซ้อน เพียงแค่รู้หลักการในตารางที่ให้มา ก็เพียงพอในการทำข้อสอบแล้ว

ติดต่อสอบถามคอร์สการเรียน SAT ได้ที่เบอร์ 02-253-2533 หรือ 095-726-2666
หรือ LINE: @theplanner